Đề sai rồi bạn nhé

2 + 3 - 5 = 0 (ở dưới mẫu) thì vô lí nên đề sai  

Sửa đề: x+y+z=10

Ta có: \(\dfrac{x}{2}=\dfrac{y}{3}=\dfrac{z}{5}\)

mà x+y+z=10

nên Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\dfrac{x}{2}=\dfrac{y}{3}=\dfrac{z}{5}=\dfrac{x+y+z}{2+3+5}=\dfrac{10}{10}=1\)

Do đó: x=2; y=3; z=5

Đặt: \(\dfrac{x}{3}=\dfrac{y}{2}=\dfrac{z}{-2}=k\)

\(\Rightarrow x=3k;y=2k;z=-2k\) 

Ta có: \(x^2+3y^2-z^2=17\)

\(\Rightarrow\left(3k\right)^2+3\cdot\left(2k\right)^2-\left(-2k\right)^2=17\)

\(\Rightarrow9k^2+3\cdot4k^2-4k^2=17\)

\(\Rightarrow17k^2=17\)

\(\Rightarrow k^2=1\)

\(\Rightarrow k=\pm1\)

Khi k = 1 thì:

\(\left\{{}\begin{matrix}x=3\\y=2\\z=-2\end{matrix}\right.\)

Khi k = -1 thì: 

\(\left\{{}\begin{matrix}x=-3\\y=-2\\z=2\end{matrix}\right.\)

x và y tỉ lệ nghịch với 6 và 5

nên 6x=5y

=>x/5=y/6

y và z tỉ lệ nghịch với 4 và 3

nên 4y=3z

=>y/3=z/4

=>x/5=y/6=z/8=(x+y+z)/(5+6+8)=38/19=2

=>x=10; y=12; z=16

\(x+y+z+8=2\sqrt[]{x-1}+4\sqrt[]{y-2}+6\sqrt[]{z-3}\left(1\right)\)

Áp dụng Bđt Bunhiacopxki :

\(\left(2\sqrt[]{x-1}+4\sqrt[]{y-2}+6\sqrt[]{z-3}\right)^2\le\left(2^2+4^2+6^2\right)\left(x-1+y-2+z-3\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(2\sqrt[]{x-1}+4\sqrt[]{y-2}+6\sqrt[]{z-3}\right)^2\le56^{ }\left(x+y+z-6\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(2\sqrt[]{x-1}+4\sqrt[]{y-2}+6\sqrt[]{z-3}\right)^2\le56^{ }\left(x+y+z+8\right)-784\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi

\(\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y-2}{4}=\dfrac{z-3}{8}=\dfrac{x+y+z-6}{14}\left(2\right)\)

Đặt \(t=x+y+z+8\)

\(\left(1\right)\Leftrightarrow t^2=56t-784\)

\(\Leftrightarrow t^2-56t+784=0\)

\(\Leftrightarrow\left(t-28\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow t=28\)

\(\Leftrightarrow x+y+z+8=28\)

\(\Leftrightarrow x+y+z-6=14\)

\(\left(2\right)\Leftrightarrow\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y-2}{4}=\dfrac{z-3}{8}=1\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-1=1.2=2\\y-2=1.4=4\\z-2=1.8=8\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=3\\y=6\\z=10\end{matrix}\right.\) thỏa mãn đề bài

\(\frac{x}{2}=\frac{2y}{3}=\frac{3z}{4}\Rightarrow\frac{2x}{4}=\frac{2y}{3}=\frac{3z}{4}=\frac{2\left(x+y+x\right)+z}{4+3+4}=\frac{2.145+z}{11}\)

\(\Rightarrow\frac{3z}{4}=\frac{290+z}{11}\Rightarrow z=10\)

Từ đó tìm ra x,y thông qua biểu thức \(\frac{x}{2}=\frac{2y}{3}=\frac{3z}{4}=\frac{3.10}{4}=\frac{15}{2}\)

Theo bài ra ta cs 

\(\frac{x}{2}=\frac{2y}{3}=\frac{3z}{4}\)

\(\Rightarrow\frac{x}{2}=\frac{y}{\frac{3}{2}}=\frac{z}{\frac{4}{3}}\)và \(x+y+z=145\)

ADTC dãy tỉ số bằng nhau ta cs 

\(\frac{x}{2}=\frac{y}{\frac{3}{2}}=\frac{z}{\frac{4}{3}}=\frac{x+y+z}{2+\frac{3}{2}+\frac{4}{3}}=\frac{145}{\frac{29}{6}}=30\)

\(\hept{\begin{cases}\frac{x}{2}=30\\\frac{y}{\frac{3}{2}}=30\\\frac{z}{\frac{4}{3}}=30\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=60\\y=45\\z=40\end{cases}}}\)

 x/2=2y/3=3z/4

=> x= 4y/3 ; z= 8y/9

Co x+y+z=145

=> 4y/3+y+8y/9=145

=>12y/9+9y/9+8y/9=145

=> 29y= 145*9

=> y= (29*5*9)/29= 45

=> x=60

=> Z=40

Vay x= 60 ; y=45 ; z=40

\(\frac{x}{5}=\frac{y}{7}=\frac{z}{3}\) va \(x^2+y^2-z^2=585\)

\(\frac{x}{5}=\frac{y}{7}=\frac{z}{3}\Rightarrow\frac{x^2}{25}=\frac{y^2}{49}=\frac{z^2}{9}\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có : 

\(\frac{x^2}{25}=\frac{y^2}{49}=\frac{z^2}{9}=\frac{x^2+y^2-z^2}{25+49-9}=\frac{585}{65}=9\)

Suy ra : \(\frac{x^2}{25}=9\Rightarrow x^2=9.25=225\Rightarrow x=15\) hoac \(x=-15\)

\(\frac{y^2}{49}=9\Rightarrow y^2=9.49=441\Rightarrow y=21\)hoac \(y=-21\)

\(\frac{z^2}{9}=9\Rightarrow z^2=9.9=81\Rightarrow z=9\) hoac \(z=-9\)

Đún đấyg

Áp dụng TCDTSBN ta có: 

\(\dfrac{x}{3}=\dfrac{y}{-2}=\dfrac{z}{-5}=\dfrac{2z-3y}{2.-2-3.-5}=\dfrac{44}{11}=4\)

\(\dfrac{x}{3}=4\Rightarrow x=12\\ \dfrac{y}{-2}=4\Rightarrow y=-8\\ \dfrac{z}{-5}=4\Rightarrow z=-20\)

a, Xét \(\dfrac{x}{-5}=2\Rightarrow x=-10\)

\(\dfrac{y}{4}=2\Leftrightarrow y=8\)

b, \(xy=6\Rightarrow x;y\inƯ\left(6\right)=\left\{\pm1;\pm2;\pm3;\pm6\right\}\)